生成行列に基づく SPF/DPF の導出
前稿までで、$Q_\text{SM}(t)$ を用いた VSG 到達密度の導出を終えたので、本稿では同じ結果が生成行列からも得られることを示します。ここでは状態を数値ではなく意味を持つ記号で表します。なお、以下の $Q$ は区間内 $(\tau_k,\tau_{k+1})$ の生成行列であり、PIR による回復は含みません。PIR は検査時刻での境界条件として与えます。
区間内のサブシステム過程 $(\eta_t^\text{sub})_{t\ge0}$ の状態順序を
$$
\mathcal S=\bigl(\mathrm{OPR},\mathrm{LAT}_U,\mathrm{LAT}_D,\mathrm{ABS}_\text{SPF},\mathrm{ABS}_\text{DPF}\bigr)
\tag{1060.1}
$$
とします。ここで $\mathrm{OPR}$ は通常稼働状態、$\mathrm{LAT}_U$ は未検出の潜在状態、$\mathrm{LAT}_D$ は検出対象の潜在状態、$\mathrm{ABS}_\text{SPF}$ と $\mathrm{ABS}_\text{DPF}$ はそれぞれ SPF と DPF に対応する吸収状態です。
IF 側および SM 側の率分解を
$$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\lambda_\text{IF,SPF}=(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF},\\
\lambda_\text{IF,DPF}=K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF},\\
\lambda_\text{IF}=\lambda_\text{IF,SPF}+\lambda_\text{IF,DPF},\\
\lambda_\text{SM,U}=(1-K_\text{SM,DPF})\lambda_\text{SM},\\
\lambda_\text{SM,D}=K_\text{SM,DPF}\lambda_\text{SM}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\tag{1060.2}
$$
とします。
状態順序(1060.1)と率分解(1060.2)に従い、各状態からの遷移率を行ごとに並べると
この順序に対応する区間内生成行列 $Q$ は
$$
Q=\left(\matrix{
-(\lambda_\text{SM,U}+\lambda_\text{SM,D}+\lambda_\text{IF,SPF}) & \lambda_\text{SM,U} & \lambda_\text{SM,D} & \lambda_\text{IF,SPF} & 0 \cr
0 & -\lambda_\text{IF} & 0 & \lambda_\text{IF,SPF} & \lambda_\text{IF,DPF} \cr
0 & 0 & -\lambda_\text{IF} & \lambda_\text{IF,SPF} & \lambda_\text{IF,DPF} \cr
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \cr
0 & 0 & 0 & 0 & 0
}\right)
\tag{1060.3}
$$
です。
稼働集合と吸収集合を
$$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\mathcal M:=\{\mathrm{OPR},\mathrm{LAT}_U,\mathrm{LAT}_D\},\\
\mathcal P_\text{SPF}:=\{\mathrm{ABS}_\text{SPF}\},\\
\mathcal P_\text{DPF}:=\{\mathrm{ABS}_\text{DPF}\},\\
\mathcal P_\text{VSG}:=\mathcal P_\text{SPF}\cup\mathcal P_\text{DPF}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\tag{1060.4}
$$
と定義します。
状態確率行ベクトルを
$$
\mathbf p(t)=\bigl(p_\text{OPR}(t),p_{\mathrm{LAT}_U}(t),p_{\mathrm{LAT}_D}(t),p_{\mathrm{ABS}_\text{SPF}}(t),p_{\mathrm{ABS}_\text{DPF}}(t)\bigr),
\qquad
\frac{d}{dt}\mathbf p(t)=\mathbf p(t)Q
\tag{1060.5}
$$
とします。一方、PIR は検査時刻での瞬時リセットとして
$$
\mathbf p(\tau_k^+)=\mathbf p(\tau_k^-)R,
\qquad
R=\left(\matrix{
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \cr
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \cr
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \cr
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \cr
0 & 0 & 0 & 0 & 1
}\right)
\tag{1060.6}
$$
で与えます。したがって、PIR により $\mathrm{LAT}_D$ の確率質量だけが $\mathrm{OPR}$ に戻ります。
すると、前進方程式の第4成分および第5成分より
$$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{d}{dt}p_{\mathrm{ABS}_\text{SPF}}(t)=\lambda_\text{IF,SPF}\bigl(p_\text{OPR}(t)+p_{\mathrm{LAT}_U}(t)+p_{\mathrm{LAT}_D}(t)\bigr),\\
\frac{d}{dt}p_{\mathrm{ABS}_\text{DPF}}(t)=\lambda_\text{IF,DPF}\bigl(p_{\mathrm{LAT}_U}(t)+p_{\mathrm{LAT}_D}(t)\bigr)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\tag{1060.7}
$$
を得ます。
ここで初期時刻では吸収状態に確率質量はなく、しかも $\mathrm{ABS}_\text{SPF}$ と $\mathrm{ABS}_\text{DPF}$ は吸収状態なので、
$$
F_\text{SPF}(t)=p_{\mathrm{ABS}_\text{SPF}}(t),
\qquad
F_\text{DPF}(t)=p_{\mathrm{ABS}_\text{DPF}}(t)
\tag{1060.8}
$$
です。したがって
$$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
f_\text{SPF}(t)=\lambda_\text{IF,SPF}\bigl(p_\text{OPR}(t)+p_{\mathrm{LAT}_U}(t)+p_{\mathrm{LAT}_D}(t)\bigr),\\
f_\text{DPF}(t)=\lambda_\text{IF,DPF}\bigl(p_{\mathrm{LAT}_U}(t)+p_{\mathrm{LAT}_D}(t)\bigr)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\tag{1060.9}
$$
となります。
ここで、希少事象近似の下では
$$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
p_\text{OPR}(t)+p_{\mathrm{LAT}_U}(t)+p_{\mathrm{LAT}_D}(t)=1-F_\text{VSG}(t)\approx1,\\
p_{\mathrm{LAT}_U}(t)+p_{\mathrm{LAT}_D}(t)=\Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM}\mid\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\approx Q_\text{SM}(t)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\tag{1060.10}
$$
です。したがって
$$
f_\text{VSG}(t)=f_\text{SPF}(t)+f_\text{DPF}(t)\approx\lambda_\text{IF,SPF}+\lambda_\text{IF,DPF}Q_\text{SM}(t)
\tag{1060.11}
$$
を得ます。これは前稿までの導出と一致します。したがって、PMHF の SPF 項および DPF 項は、生成行列に基づく CTMC からも同じ形で導かれます。
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